Алгебра, опубликовано 2018-08-22 23:03:24 by Гость

Четырехугольник ABCD вписан в окружность, точка О - точка пересечения диагоналей AC и BD. Известно, что S abo=4S bco, ВО=1, DO=16. Найти АС.

Ответ оставил Гость

Обозначим угол $BOC=a$ . Тогда угол $BOA=180-a$ .
Площадь треугольника $S_{AOB}=/frac{AO*1*cosa}{2}// S_{BOC}=/frac{OC*1*sina}{2}//// S_{AOB}=4S_{BOC}// S_{ABC}=/frac{5OC*sina}{2}//// S_{OCD}=8OCcosa// S_{AOD}=8AOsina// S_{CDA}=8OCcosa+8AOsina//// S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{CDA}=2.5OC*sina+8OCcosa+8AOsina//$
но с другой стороны площадь четырехугольника равна
$S_{ABCD}=(AO+OC)*8.5*sina$
Тогда $2.5OC*sina+8OCcosa+8AOsina=(AO+OC)*8.5*sina$
По свойству хорд получаем
$AO*OC=16*1$
выражая и подставляя в уравнение
$2.5*/frac{16}{AO}*sina+8*/frac{16}{AO}*cosa+8*AO*sina=$ $(AO+/frac{16}{AO})*8.5*sina$
откуда получаем что
$(AO^2+192)sina=256cosa// AO^2=256ctga-192//$
но по условию $S_{ABO}=4S_{BCO}// AO*OC=16//// S_{ABO}=/frac{AO*cosa}{2}// S_{BOC}=/frac{OC*sina}{2}// /frac{AO*cosa}{OC*sina}=4// AO*cosa=4OC*sina// /frac{AO}{OC}=4tga// /frac{AO}{/frac{16}{AO}}=4tga// AO=8/sqrt{tga}////$
Уравнение
$256ctga-192=8/sqrt{tga}$
Откуда решение
$x=/frac{/pi}{4}$ второй не подходит
Откуда $AO=8 / / OC=2//// AC=8+2=10$

Не нашли ответа?

Если вы не нашли ответа на свой вопрос, или сомневаетесь в его правильности, то можете воспользоваться формой ниже и уточнить решение. Или воспользуйтесь формой поиска и найдите похожие ответы по предмету Алгебра.