На доске написали число 2013. После этого с числом, написанным на доске, многократно производят следующую операцию: если в этом числе все цифры одинаковы, то из него вычитают 10, иначе из него вычитают 1. За какое количество операций на доске получится число 1?

Между 1 и 2013 случаев когда все четыре, три и две цифры будут одинаковы:
1111, 999, 888, 777, 666, 555, 444, 333, 222, 111, 99, 88, 77, 66, 55, 44, 33, 22, 11.
19 случаев.
19*10 = 190.
2013-190= 1823,
И еще -1 т.к. эта операция будет производиться только до получения единицы.
1823 - 1 = 1822
Ответ: 1822 раза.