Из точки М, лежащей вне окружности с центром О и радиусом R, проведены касательные МА и МВ (А и В - точки касания). Прямые ОА и МВ пересекаются в точке С. Найдите ОС, если известно, что отрезок ОМ делится окружностью пополам.

Проводим перпендикуляр в точку касания ОА = R, точка К делит ОМ пополам, МК=ОК, ОК= R, МО=2*ОК=2R, треугольник МКО прямоугольный, ОА=1/2ОМ, значит уголАМО=30, уголМОА=90-30=60, ОМ-биссектриса угла М, уголАМО=уголВМО=30, уголМОС=180-уголМОА=180-60=120, треугольник МОС, уголМСО=180-30-120=30, треугольник МОС равнобедренный, ОМ=ОС=2R