n диаметров делят окружность на равные дуги. доказать что основания перпендикуляров , опущенных из произвольной точки М внутри окружности на эти диаметры, являются вершинами правильного многоугольника

О - центр окружности. Если построить вторую окружность - на отрезке МО, как на диаметре, то все основания [заданных в задаче] перпендикуляров будут лежать на этой окружности (надо объяснять, почему? :) - потому что МО - диаметр :) ). Кроме того, поскольку углы между [заданными в задаче] диаметрами первой окружности одинаковые, а во второй окружности это вписанные углы, то основания перпендикуляров делят вторую окружность  на равные дуги. А равным дугам, как известно, соответствуют равные хорды [второй окружности]. Поэтому основания перпендикуляров являются вершинами правильного n - угольника, где n - число диаметров первой окружности. ЧТД.