7. Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме о свойстве касательной.

Теорема. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, прове- 
дённому в точку касания. Дано: окр (О;ОА) р – касательная к окружности, 
А – точка касания. Доказать: р перпендикулярна ОА. 
Доказательство (методом от противного) 
Предположим, что р не перпендикулярна ОА 
Вэтом случае радиус ОА является наклонной к прямой р. Так какперпендикуляр, проведённый из точки О к прямой р, меньше наклонной ОА,то расстояние от центра О окружности до прямой р меньше радиуса.Следовательно, прямая р и окружность имеют две общие точки, т.е. р –секущая. Но это противоречит условию теоремы, что р - касательная кокружности. Так как получили противоречие, то предположение, что р неперпендикулярно ОА было неверным, значит, р перпендикулярна ОА. Итак,касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точкукасания.
Верна и теорема, обратная теореме о свойстве касательной - признак касательной. 
Теорема.Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, иперпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной. 
Дано: окр (О;ОА), р, А принадлежит р, р перпендикулярна ОА  Доказать: р – касательная к окр (О;ОА). 
Доказательство 
Поусловию р принадлежит ОА, ОА – радиус окружности, поэтому расстояние отцентра окружности до прямой р равно радиусу ОА. Следовательно, прямая иокружность имеют только одну общую точку. А это означает, что даннаяпрямая р является касательной к окружности. Итак, если прямая проходитчерез конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этомурадиусу, то она является касательной.