В равнобедренном треугольнике высоты проведенные к основанию и к боковой стороне соответственно равны 10 и 12. Найти радиус окружности вписанной в этоттреугольник.

X - такое число, что основание равно 12*x, боковая сторона 10*x;
(Ну, тогда площадь просто равна S = 10*12*x/2; не зависимо от того, как её считать - через основание или боковую сторону. Можно считать это выражение определением неизвестной x)
Высота к основанию 10 делит треугольник на два равных прямоугольных, у каждого из них катеты 6*x и 10, гипотенуза 10*x; 
Отсюда 10 = 8*x; (ну, сосчитайте по теореме Пифагора, хотя тут проще всё - треугольники получились "египетские", то есть подобные треугольнику со сторонами 3,4,5, коэффициент подобия 2*x)
x = 5/4; основание 12*x = 15; боковые стороны 10*x = 25/2; 
полупериметр p = 25/2 + 15/2 = 20; площадь S = 15*10/2 = 75;
r = S/p = 15/4;

Самое занятное, что здесь вообще не надо ничего этого делать.
ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ числа x
S = 60*x; и p = 16*x; откуда r = S/p = 60/16 = 15/4; :))