Как доказать что в правильном восьмиугольнике существуют три параллельные диагонали

Да, существуют, только не три, а четыре пары параллельных диагоналей, так как в правильном восьмиугольнике четыре пары параллельных сторон.
При соединении вершин этих сторон и получаются параллельные диагонали в виде сторон прямоугольников.
Для доказательства их параллельности нужно именно это и доказать, используя величины углов.
Угол восьмиугольника имеет величину 180*(8-2)/8 = 135 градусов, а между стороной и радиусом 135/2 = 67,5 градусов.
Так как диагональ опирается на угол 360*3/8 = 135 градусов, то угол между диагональю и радиусом = (180-135) / 2 = 22,5 градуса
Итак, угол в четырёхугольнике между стороной и диагональю составляет 67,5 + 22,5 = 90 градусов.
И так можно доказать по всем углам.
Значит, эти диагонали являются сторонами прямоугольника, а стороны прямоугольника - параллельны.