Что позволило Александру невскому стать любимцем русских и татар?

1) Потому что мы живем в политкорректной стране, власти которой более всего боятся неизбежного русского бунта, бессмысленного и беспощадного. 
Поэтому современная историография придумывает мифы про людей, которые типа были и нашим и вашим. 

В реальности, после того как Невского выгнали из Новгорода (а Новгород был вольным городом и бату до него не дошел) он вернулся туда с отрядом татар и ярлыком на княжение. Т.е. ради своих личных амбиций сдал северную Русь татарам. 

2) Киевская Русь поделилась на две части Литву (куда входил Киев) и Московию (которая вошла в улус Джучи). 
Киев у татар отбили довольно быстро, а в Джучи князья стали использовать орду подчинения местного населения.