Математика, опубликовано 2018-08-22 23:54:01 by Гость

Доказать, что из всех прямоугольников, вписанных в данный круг радиусом R, наибольшую площадь имеет квадрат.

Ответ оставил Гость

Пишем функцию площади от длины стороны прямоугольника:
$S(x)=x/cdot y// x^2+y^2=(2R)^2 / / / =>y=/sqrt{4R^2-x^2} // S(x)=x/sqrt{4R^2-x^2}$
Находим экстремум:
$S(x)=/sqrt{4R^2-x^2}-/frac{x^2}{/sqrt{4R^2-x^2}}=/frac{4R^2-2x^2}{/sqrt{4R^2-x^2}}// S(x)>0 / / / <=> / / / 2R^2>x^2 / / / <=> / / / x /in(-/sqrt{2}R,/sqrt{2}R)$
Так, как $x$ это длина стороны он не может получать отрицательные значения, следовательно экстремум всего один $x=/sqrt{2}R$
Находим $y$ (хотя одного отношения радиуса к стороне достаточно, чтоб сказать что фигура - квадрат):
$y=/sqrt{4R^2-x^2} / : / x=/sqrt{2}R/ / / => / / / y=/sqrt{4R^2-2R^2}=/sqrt{2}R // x=y$
Что и требовалось доказать.

Не нашли ответа?

Если вы не нашли ответа на свой вопрос, или сомневаетесь в его правильности, то можете воспользоваться формой ниже и уточнить решение. Или воспользуйтесь формой поиска и найдите похожие ответы по предмету Математика.